Groupes, symétries, actions de groupes

Le programme « Suivi Personnalisé En Ligne des Langues » (SPELL) est une formation en langues à distance constituant une Unité d’Enseignement à part entière pour les étudiants en première année de Licence (L1). SPELL est un programme de travail fondé sur deux grands principes : l’autonomie et le suivi personnalisé. Les étudiants suivent un programme de 9 semaines de travail 100% à distance organisé sous la forme d’activités à mener sur la plateforme Moodle.

Développer une culture générale scientifique. Connaître le quotidien de certains metiers scientifiques via des présentations par des professionnels de leurs métiers et des problèmes scientifiques qui les occupent.

— Vocabulaire de la topologie de R. Continuité, compacité. L’étude de toute notion “uniforme” (telle que la continuité uniforme) est hors-programme — Dérivabilité, théorème des accroissements finis et formules de Taylor — Calcul d’intégrales, en admettant l’existence de primitives pour les fonctions continues — Construction et propriété des fonctions de trigonométrie et de trigonométrie hyperbolique, directes et réciproques, en partant de certains résultats admis concernant les fonctions cosinus, sinus et exponen- tielle — Outils et méthodes pour l’étude globale et locale de fonctions réelles d’une variable réelle, données par une expression utilisant les fonctions usuelles de l’analyse et des intégrales dont le paramètre n’apparaît que dans les bornes — Méthodes de résolution de certaines équations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2

— Découvrir de nouvelles mathématiques en-dehors du cadre habituel des courts et des TD — Développer l’autonomie et la collaboration entre étudiants — Entraier à la présentation à l’oral

Fournir un socle de connaissance nécessaire pour comprendre les enjeux de soutenabilité planétaire, afin de pouvoir devenir acteur d'une transition écologique.

• Acquérir un socle de connaissance réellement interdisciplinaire autour de la question complexe de la transition écologique et de ses enjeux sociétaux ;
• Se situer, et situer sa discipline propre, dans le cadre global de "l'Anthropocène" ;
• Développer un parcours personnel en réponse aux enjeux de la transition écologique et sociale ; S'approprier une question et définir les contours d'un projet lié à celle-ci ;
• Présenter des résultats dans un format pédagogique.

4 épreuves d'écrit blanc de 4h chacune, avec une séance de correction de 3h. Les séances ont lieu le samedi matin.

Apprendre les différentes caractérisations de la loi d'une variable aléatoire réelle. Maîtriser la notion d'espérance d'une variable réelle.

Connaître et savoir manipuler avec aisance les lois des variables aléatoires réelles usuelles.

Appréhender les vecteurs aléatoires et la notion de loi jointe, en particulier dans le cadre des vecteurs gaussiens. Se familiariser avec les divers modes de convergence d'une suite de variables aléatoires réelles, comprendre les formulations rigoureuses des théorèmes de convergence et savoir les appliquer dans différents contextes.

bjectifs : — Vocabulaire de la topologie de R. Continuité, compacité. L’étude de toute notion “uniforme” (telle que la continuité uniforme) est hors-programme — Dérivabilité, théorème des accroissements finis et formules de Taylor — Calcul d’intégrales, en admettant l’existence de primitives pour les fonctions continues — Construction et propriété des fonctions de trigonométrie et de trigonométrie hyperbolique, di- rectes et réciproques, en partant de certains résultats admis concernant les fonctions cosinus, sinus et exponentielle — Outils et méthodes pour l’étude globale et locale de fonctions réelles d’une variable réelle, données par une expression utilisant les fonctions usuelles de l’analyse et des intégrales dont le paramètre n’apparaît que dans les bornes — Méthodes de résolution de certaines équations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2

— Topologie des espace métriques : ouverts, compacts, complétude, continuité. — Espaces vectoriels normés : équivalence des normes en dimension finie, norme subordonnée (savoir la calculer en pratique), continuité des applications linéaires. — Géométrie des espaces de Hilbert : orthogonalité, projection sur un convexe, base hilbertienne. — Différentiabilité : connaitre et savoir calculer la différentielle, gradient, hessienne d’une fonction. Notamment être capable de le faire sans passer par les dérivées partielles, notamment pour des compositions non triviales de fonctions. — Applications de la différentiabilité : savoir écrire un développement de Taylor ; savoir calculer une constante de Lipschitz avec le Théorème des Accroissements Finis ; savoir mener un recherche d’extrema sur un problème simple ; comprendre les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. — Théorie des séries de Fourier. Maîtrise du calcul des coefficients de Fourier, des principaux théorèmes de convergence. Lien avec la théorie générale des espaces de Hilbert.

Le cours est une introduction aux probabilités discrètes. Les objectifs principaux sont les suivants : x0016 Maîtriser la combinatoire de base. x0016 Maîtriser les notions d'espace probabilisé et de variable aléatoire dans le cas discret (c'est-à-dire au plus dénombrable), et les utiliser pour modéliser mathématiquement des situations concrètes. x0016 Connaître les variables aléatoires entières usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme, géométrique, Poisson, ...). x0016 Savoir dé_x001c_nir et calculer espérances et variances, et utiliser certaines inégalités usuelles les concernant. x0016 Comprendre la notion de loi jointe, savoir caractériser l'indépendance de variables aléatoires discrètes et calculer la covariance de deux variables aléatoires discrètes. x0016 Aborder les chaînes de Markov sur un espace d'état _x001c_ni, pour des exemples simples.

• Savoir écrire les conditions d’optimalités (nécessaires et suffisantes) pour un problème d’opti- misation dans Rn , avec ou sans contraintes, et les utiliser pour calculer un minimiseur. • Savoir écrire l’algorithme du gradient pour approcher la solution d’un problème de minimisation et connaître les vitesses de convergence de cet algorithme selon la convexité de la fonction. • Savoir implémenter numériquement en Python des algorithmes d’optimisation.

Préparation collective et individuelle aux oraux du CAPES de mathématiques

— En algèbre : réduction des endomorphismes (essentiellement dans le cas diagonalisable) et ap- plications — En analyse, étude des séries et des intégrales impropres

— Se familiariser avec les notions de relation binaire, de relation d’équivalence, d’ensemble ordonné, de morphisme et d’isomorphisme d’ordre spécialement dans le cadre d’ensembles totalement ordonnées ; introduire la notion d’ensemble bien ordonné. — Présenter les rudiments de calcul propositionnel et de fonction n-aire booléenne — Présenter les fondements axiomatiques permettant la construction d’un modèle d’ensemble d’en- tiers naturels avec ses opérations usuelles et son ordre usuel. Approfondir la notion de preuve par récurrence dans ce cadre ; utiliser le théorème de définition par récurrence — Présenter les structures algébriques classiques et les constructions des ensembles usuels de nombres à partir de l’ensemble des entiers naturels.

Sans introduire explicitement les structures algébriques, cet enseignement permet d'étu- dier certains exemples fondamentaux : anneau des entiers relatifs, Z/nZ, corps des nombres complexes, groupes des nombres complexes de module 1 et des racines n-ièmes de l'unité, l'anneau des polynômes dé_x001c_nis sur R et sur C d'une manière su_x001e_samment approfondie pour préparer à des généralisations. De même, on introduit les systèmes linéaires a_x001c_n de préparer l'enseignement des espaces vectoriels prévus au semestre 2. Ce cours introduit aussi certains algorithmes et certaines techniques fondamentales pour l'étude de ces objets et permet d'entraîner à la rédaction de démonstrations simples.

Couvrir les parties au programme du CAPES de mathématiques non ou peu couvertes par les cours précédents (statistiques descriptives, courbes paramètres, ...) Consolider les bases des techniques de L1-L2 et acquérir un bagage technique et des connaissances en vue du concours du CAPES.

Notions et exemples fondamentaux de la théorie des groupes et des actions de groupe.

— Introduction aux assistants de preuve par ordinateur — Développer la rigueur de démonstration — Peut servir de motivation à la programmation certifiée

_x0016_En Algèbre : x0016 Poser les bases d'algèbre bilinéaire sur R, introduire les formes quadratiques et en voir une première application avec l'étude locale des fonctions de plusieurs variables au voisinage d'un point critique. x0016 Introduire la notion de produit scalaire et d'espace euclidien, connaître la classi_x001c_cation des isométries en dimension 2 et 3. _x0016_En Analyse : Poursuivre l'étude de fonctions avec l'introduction de notions suivantes : x0016 Suites et séries de fonctions, séries entières (en-dehors du cadre des fonctions holomorphes) x0016 Intégrales à paramètre dans un cadre simple. Le calcul d'intégrables doubles est simplement introduit; il est présenté comme une extension de l'étude d'intégrales à paramèt

— Savoir lire et concevoir un algorithme. — Savoir analyser un algorithme simple pour déterminer sa complexité dans le pire des cas et prouver sa correction. — Savoir implémenter des algorithmes en Python.

— Vocabulaire dans R et propriétés de R (corps totalement ordonné, propriété de la borne supé- rieure, propriété archimédienne), densité des rationnels et des irrationnels. — Manipulation de la valeur absolue, des inégalités — Manipulation de la définition de limite de suite, démonstration et utilisation des théorèmes élémentaires sur les suites. — Suites arithmétiques, suites géométriques, sommes arithmétiques, sommes géométriques. — Notion de suite négligeable par rapport à une autre, notion de suites équivalentes.

— Faire des liens entre les différents sujets de mathématiques enseignés jusque-là pour mettre en lumière l’unité des mathématiques — Réfléchir à la stratégie à adopter au cours d’une épreuve écrite — Entraîner à la résolution de problèmes assez longs — Améliorer la rédaction écrite

— Préparation au projet professionnel — Préparation à l’expression orale

— Continuer à développer des compétences en programmation acquises pendant le premier se- mestre — Introduire des algorithmes classiques de l’informatique et de la mathématique numérique — Construire les bases pour le cours d’Algorithmes et programmation du semestre 3 — Montrer des applications inspirées par les sujets traités pendant le premier et le deuxième Semestre

Introduction à la méthode axiomatique ; maîtrise des notions usuelles sur les ensembles ordonnés, et des constructions ensemblistes élémentaires ; repérer que des ensembles rencontrés en mathématiques informatique sont dénombrables ou ont même cardinal que R ; introduction au calcul des prédicats du premier ordre pour les mathématiques et l’informatique.

Le programme « Suivi Personnalisé En Ligne des Langues » (SPELL) est une formation en langues à distance constituant une Unité d’Enseignement à part entière pour les étudiants en première année de Licence (L1). SPELL est un programme de travail fondé sur deux grands principes : l’autonomie et le suivi personnalisé. Les étudiants suivent un programme de 9 semaines de travail 100% à distance organisé sous la forme d’activités à mener sur la plateforme Moodle.

— Caractériser les endomorphismes diagonalisables — Déterminer les bases dans laquelle / lesquelles une matrice est diagonalisable

— Formes quadratiques, produits scalaires, orthogonalité, matrices et transformations orthogo- nales, réduction des endomorphismes symétriques. (6 semaines) — Suites et séries de fonctions. Séries entières et applications. (6 semaines)

• Définir les espaces mesurables et probabilisés, construire l'intégrale par rapport à une mesure et l'espérance. Intégrer par rapport à la mesure de Lebesgue.
  • Comprendre et utiliser les théorèmes de convergence classiques dans le cas des suites de fonctions mesurables et des suites de variables aléatoires.
• Apprendre les différentes caractérisations de la loi d'une variable aléatoire réelle.
  • Connaître et savoir manipuler avec aisance les lois des variables aléatoires usuelles.
• Appréhender les vecteurs aléatoires, les lois jointes, la mesure produit et la notion d'indépen- dance.
• Connaître les théorèmes de Fubini et la formule de changement de variables et savoir les appliquer à des calculs d'espérance.
• Se familiariser avec les différents modes de convergence d'une suite de variables aléatoires réelles, comprendre les formulations rigoureuses des théorèmes de convergence et savoir les appliquer.

— Définitions d’équation et système d’équations différentielles ordinaires, solution locale, solution maximale ; — résolution complète dans le cas de système linéaires à coefficients constants ; — principaux résultats d’existence et unicité de solutions ; — équations autonomes, notions de base sur l’étude qualitative, équilibres et solutions station- naires, stabilité, fonction de Lyapounov, — méthodes numériques pour l’approximation des solutions, notamment les méthodes d’Euler et du point milieu, ordre, stabilité et convergence.

Bases de la programmation en langage Python.

— traiter rigoureusement les méthodes de base de l’analyse numérique (notamment algèbre linéaire numérique et résolution d’équations non-linéaires) ; — apprendre à coder efficacement les méthodes et à utiliser la bibliothèque Numpy ; — jeter les bases pour les cours appliqués (Statistiques, Optimisation, Méthodes numériques pour les équations différentielles).

— Maîtrise des fondamentaux du calcul différentiel en dimension finie (mais sur des espaces linéaires généraux) — Savoir mener l’étude locale d’une fonction (ou d’une application) de plusieurs variables

Maîtriser les bases de la géométrie affine et euclidienne, essentiellement en dimension 2 et 3, en vue notamment des concours de recrutement de l’enseignement secondaire.

Être capable : — d’interroger une base de données relationnelle, — de lire, concevoir et améliorer un schéma de base de données.

— Comprendre les notions de fonction de la variable complexe, fonction holomorphe, analytique et les relations entre ces définitions ; — Principaux résultats concernant les fonctions holomorphes et méromorphes : formule de Cauchy, théorème des résidus, série de Taylor et de Laurent ; — Applications des résultats : calcul d’intégrales, les zéros d’un polynôme ; — Dans la mesure du possible : introduction des concepts plus avancés, tels que la sphère de Riemann et les surfaces de Riemann

— Apporter une culture générale numérique concernant les formats de documents, à la fois du point de vue technique (formats) et en vue de la diffusion et de l’expression (communication) — Le module comporte des éléments de formation et la certification PIX

— Mathématiques sur des objets discrets comme les graphes — Consolidation des acquis en programmation Python

— Calcul matriciel — Matrices échelonnées — Résolution de systèmes linéaires — Espaces vectoriels de manière formelle, puis sur des exemples pour illustrer la structure algé- brique — Manipulation de familles de vecteurs : indépendance, génératrice, base — Théorie de la dimension — Introduction des applications linéaires. Matrice d’une application linéaire et matrice de passage

Cours d’introduction à l’analyse numérique pour les étudiants L3 MIASHS. Focus sur les aspects théoriques et sur la programmation en Python. L’objectif du cours est de faire comprendre les défis de l’analyse numérique, découvrir les algorithmes classiques et savoir les appliquer à l’ordinateur : pour manque de temps, on suggère de ne pas faire des séances TD, mais plutôt de se concentrer directement sur l’implémentation des algorithmes en TP (et l’apprentissage de la libraire Numpy).

— Découvrir des applications des mathématiques — S’initier à des mathématiques nouvelles, et réussir à en comprendre certains enjeux en-dehors d’un cadre d’apprentissage didactique — Mener un projet au sein d’un groupe de 3 ou 4 étudiants — Présenter à l’oral

D’une part, le cours poursuit l’étude de l’analyse en abordant les notions de séries et d’intégrales impropres, et en introduisant l’étude des fonctions de plusieurs variables. D’autre part, le cours apporte des compléments de topologie suivant deux axes : — suites de Cauchy et complétude de R pour fournir un cadre simple à l’étude des séries et des intégrales absolument convergentes ; — topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels normés, spécialement en dimension finie, pour fournir un cadre à l’étude des fonctions de plusieurs variables.

Notions fondamentales de la théorie des anneaux (inversibles, idéaux, anneaux intègres, principaux, euclidiens, factoriels) ; anneaux de polynômes, polynômes irréductibles, étude de K[X]/(P) et exemples de corps. Application à la réduction des endomorphismes par l’étude des polynômes d’endomorphismes