Calcul différentiel et séries de Fourier

Syllabus

— Topologie des espace métriques : ouverts, compacts, complétude, continuité. — Espaces vectoriels normés : équivalence des normes en dimension finie, norme subordonnée (savoir la calculer en pratique), continuité des applications linéaires. — Géométrie des espaces de Hilbert : orthogonalité, projection sur un convexe, base hilbertienne. — Différentiabilité : connaitre et savoir calculer la différentielle, gradient, hessienne d’une fonction. Notamment être capable de le faire sans passer par les dérivées partielles, notamment pour des compositions non triviales de fonctions. — Applications de la différentiabilité : savoir écrire un développement de Taylor ; savoir calculer une constante de Lipschitz avec le Théorème des Accroissements Finis ; savoir mener un recherche d’extrema sur un problème simple ; comprendre les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. — Théorie des séries de Fourier. Maîtrise du calcul des coefficients de Fourier, des principaux théorèmes de convergence. Lien avec la théorie générale des espaces de Hilbert.

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